23 septembre 2016

Comment prononcez-vous 80 ?

Comme la plupart des civilisations humaines nous comptons en base dix et ce, depuis un moment. Pourtant, quand on y regarde de plus près, les mots que nous utilisons laissent transparaître quelques bizarreries intéressantes. Tenez par exemple : pourquoi dit-on « onze » et « douze » plutôt que « dix-un » et « dix-deux » comme en Cantonais ou en Mandarin ? C’est tout de même étrange, si vous y pensez, d’utiliser des mots spéciaux pour tous les entiers de 1 à 16 puis, comme par magie, de passer en mode décimal. Aurions-nous, autrefois, utilisé un système hexadécimal ?

Autre exemple amusant : nos « soixante-dix » (60+10), « quatre-vingt » (4*20) et « quatre-vingt-dix » (4*20+10). Là où nos amis belges et suisses utilisent les formes « septante » « octante » et « nonante », mots hérités du Latin et utilisés en Provençal, en Gascon et en Corse, nous formons des multiples de 20, trace possible d’un système vigésimal, comme en Picard, en Auvergnat et en Limousin. On a longtemps dit, sans preuve, que c’était sans doute un héritage celte puisque les Bretons et le Gallois utilisent un système analogue mais il faut alors expliquer pourquoi cette spécificité n’apparait pas dans le Gaëlique irlandais tandis qu’on le retrouve en Basque.

Ça m’a donné envie d’une petite promenade dans l’extraordinaire diversité des systèmes qui transparaissent dans nos langues.

Basics

Première étape : les systèmes basiques. On les trouve, vous vous en doutez, dans les zones où vivent encore des peuplades primitives comme au fond de la jungle amazonienne, dans le bush australien et — à tout seigneur tout honneur — chez les champions toutes catégories de la créativité en matière numérique : en Papouasie-Nouvelle-Guinée.

Basique parmi les basiques, le système de la langue Molmo One (Papouasie-Nouvelle-Guinée). Il y a un mot pour « un », un autre pour « deux » et trois se dit « deux un ». Il y a, en principe, un mot pour quatre (« deux deux ») mais personne ne compte jusque-là. Dans le même ordre d’idées, en Bakairi (Brésil), on va un peu plus loin : ils utilisent trois mots : « un », « deux » et « plus » ce qui leur permet de former : « un », « deux », « deux un plus », « deux deux plus », « deux deux un plus » et ça s’arrête là. Notez qu’en Gupapuyngu, un langage aborigène d’Australie, on compte aussi jusqu’à 5 mais d’une façon assez originale. Littéralement : « solitaire », « paire », « trio » (c’est-à-dire une famille composée de papa, maman et un enfant) puis, ils se représentent un tas d’œufs de tortue arrangés en pyramide : s’il y a un œuf au-dessus ça fait 5 sinon c’est juste 4.

En Yukpa (Venezuela), on va jusqu’à 10 et on fonctionne par paires. Ça donne « un », « deux », « trois », « deux paires », « une main entière », « trois paires »… jusqu’à « fini les deux mains ». Tous les entiers supérieurs à 10 se disent « beaucoup ». En Kombio et en Orokaiva (Papouasie-Nouvelle-Guinée), on compte jusqu’à 20 (doigts) avec 4 mots : « un », « deux », « main », « pied ». Pour 16, ça donne en gros « main, main, pied, un » chez les premiers et inɡeni heriso nei vahai, nei vahai (« deux mains et un pied et un ») chez les autres. Évidemment, dans les deux cas, arrivé à 20 c’est terminé. Notez qu’en Araona (Bolivie), ça fonctionne de la même façon à ceci près que 20 c’est « quatre mains ».

Mais les papouasiens, je vous l’ai dit, sont capables de prodiges. En Oksapmin, les locuteurs ont trouvé un moyen de passer la limite des 20 : ils commencent comme nous, sur les doigts d’une main, puis comptent le poignet, l’avant-bras, le coude et ainsi de suite jusqu’à avoir épuisé les 5 doigts de leur deuxième main. De cette façon, ils arrivent jusqu’à 27. Mieux encore : en Bukiyip, on utilise un système tertiaire (en base 3) : « un », « deux », « deux un » ; les nombres 4 et 5 échappent étrangement à cette règle puis ça repart à partir de 6 : « six », « six un », « six deux », « neuf », « neuf un » etc… Je termine cette brève liste avec mon favori : le système binaire de la langue Fas, encore en Papouasie-Nouvelle-Guinée. Ça fonctionne à peu près comme votre ordinateur mais avec des « un » et des « deux » : « un », « deux », « deux un », « deux deux », « deux deux un » etc… Pour 42, répétez 21 fois « deux ».

Serious stuff

On attaque les choses sérieuses mais sans quitter la Papouasie-Nouvelle-Guinée. En langue Ndom on compte en base 6 (système sénaire) c’est-à-dire que ça commence comme nous jusqu’à (l’équivalent de) six puis, ça bascule en « six et un », « six et deux » etc. Le système « reboote » deux fois à 18 (tondor) et 36 (nif) puis ça continue à coup de sommes et de multiples de 6, 18 et 36. Pour 67, vous diriez nif abo tondor abo mer an thef abo sas (soit « 36 et 18 et 6 fois 2 et 1 »). Je vous l’avais dit : ils sont très très forts.

En langue Pazeh (Taiwan), le système est un mélange de quinaire (base 5) et de décimal (base 10). Ils ont des mots pour les entiers de 1 à 5, pour 10, 100 et 1000 et se débrouillent avec. Ça donne un, « deux », « trois », « quatre », « cinq », « cinq un », « cinq deux » etc. Pour 42 dites supaza isit dusa (« quatre dix deux »). En Meyah et en Alamblak (Papouasie-Nouvelle-Guinée), on mélangeait le système quinaire (5) avec le système vigésimal (20) ; c’est-à-dire qu’en plus de « un », « deux », « main » et « pied » (comme vu plus haut), ils comptaient les « hommes entiers » et tous les autres nombres étaient formés sur cette base. Pour 42, ça donnait « deux hommes et deux » mais il semble que ces systèmes soient en train de disparaitre. Notez qu'en Catio (Colombie), c’est exactement le même principe.

Je passe rapidement sur les différentes variantes du système décimal ; juste le temps de signaler la profusion absolument invraisemblable de mots utilisés par le système Hindi comme, d’ailleurs dans la plupart des langues du sous-continent indien, et mon système préféré dans cette catégorie : celui de la langue des îles Tonga : ils ont des mots pour tous les entiers de 0 à 9 puis, se contentent de lire les chiffres comme il s’écrivent. Pour 42, dites simplement « quatre deux ».

Si vous cherchez un modèle de système duodécimal (base 12), je vous recommande le dialecte Nimbia, une variante du Gwandara (Nigéria), qui est d’une régularité à toute épreuve : tout est basé sur des multiples de douze auquel on rajoute des unités. Par exemple, 42 se dit « douze trois et six ». Détail amusant, 12 fois 12 se dit wo. Aussi incroyable que ça puisse sembler, j’ai trouvé une base 15 (système pentadécimal) et c’est bien sûr en Papouasie-Nouvelle-Guinée : en Huli, ils ont des mots pour les entiers de 1 à 15 puis pour les multiples de 15. Pour 42, par exemple, dites « 15 fois 2 plus douze unités de la 3ème quinzaine ».

On arrive enfin à la base 20, système beaucoup plus courant qu’on pourrait le croire et qui pourrait bien être à l’origine des petites bizarreries de notre langue évoquées en introduction. L’exemple le plus célèbre est sans doute le système du Nahuatl (Mexique), la langue des Aztèques, qui est un système entière vigésimal avec des bases intermédiaires à 5, 10 et 15. On trouve des traces de système vigésimal dans un paquet de langues un peu partout ; c’est ce qui amène Georges Ifrah, historien des mathématiques, à penser que tous ces systèmes pourraient avoir une origine préhistorique commune.

20 septembre 2016

Aux sources de Pi

Le nombre Pi ($\pi$), par définition, c’est le rapport entre la circonférence d’un cercle ($C$) et son diamètre ($D$) :

$$\pi = \frac{C}{D}$$

… et c’est aussi le rapport de l’aire d’un disque ($A$) sur le carré de son rayon ($r$) :

$$\pi = \frac{A}{r^2}$$

Mais qui donc a découvert le truc en premier ?

Considérations préalables

Pour répondre à cette question, il faut d’abord nous entendre sur ce que signifie « connaitre $\pi$ ». Il se trouve que $\pi$ est un nombre irrationnel [1]. Ça signifie qu’on ne peut pas l’écrire sous forme de fraction de nombres entiers [2] et ça implique qu’il a un nombre infini de décimales qui ne se répètent pas de façon régulière. Concrètement, voici la partie entière suivie des cent premières décimales de $\pi$ [3] :

3.
14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679...

En conséquence de quoi, si par « connaitre $\pi$ » vous entendez « connaitre la valeur exacte de $\pi$ » la réponse à notre question est « personne ». Aux dernières nouvelles, on en est à $2\times10^{15}$ décimales [4] ce qui, pour toutes les applications concrètes que vous pourrez imaginer, ne sert rigoureusement à rien. Typiquement, ma version d’Excel ne me propose que 14 décimales mais, appliqué au calcul de la circonférence d’un cercle d’une année-lumière de diamètre, ça ne me donnerait une erreur de l’ordre de 28 mètres — j’y survivrai — et on estime que 39 décimales suffiraient à calculer la circonférence de l’univers connu à l’atome près [5].

En réalité, pour « connaitre $\pi$ », il suffit d’avoir conscience de son existence. C’est-à-dire que le simple fait de savoir qu’il existe un rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre ou, au choix, entre l’aire d’un disque et le carré de son rayon suffit à qualifier un découvreur. Savoir que ça fait un peu plus de 3, c’est déjà bien ; l’évaluer entre 3.12 et 3.16, c’est encore mieux ; au-delà, c’est juste un problème de calcul.

Il y a, à ma connaissance, deux façons de découvrir $\pi$. La première est empirique : c’est la conclusion à laquelle arriverait naturellement celui qui, à force de mesurer la circonférence de cercles dont il connait le diamètre, constaterait qu’il trouve toujours un peu plus de 3. C’est tout à fait faisable [6] mais, en l’absence d’instruments de mesure précis, c’est un brin incertain. L’autre façon de faire est purement théorique et ne demande rien d’autre que de savoir calculer l’aire d’un rectangle — et donc, en divisant par deux, d’un triangle rectangle.

Et à ce petit jeux là, il semble bien que les égyptiens étaient loin d'être mauvais.

La méthode d’Ahmose

En 1858, Alexander Henry Rhind, juriste et par ailleurs égyptologue écossais, fait l’acquisition [7] d’un étrange papyrus qui va devenir notre principale source d’information sur les compétences mathématiques des égyptiens vers 1650 av. J.-C. C’est le papyrus de Rhind (RMP), œuvre du scribe Ahmose (a.k.a. Âhmès) qui informe lui-même le lecteur qu’il se contente de recopier un document encore plus ancien. On y trouve 87 exercices corrigés qui couvrent l’essentiel des besoins des scribes de l’époque comme mesurer des champs rectangulaires, estimer le volume d’un silo à grain, résoudre quelques équations et, naturellement, calculer la pente d’une pyramide.

Or, dans le cinquantième exercice, Ahmose nous propose de calculer l’aire $A$ d’un cercle d’un diamètre $D$ de 9 khet.

Pour nous, c’est très facile :

$$A = \pi \times \left( \frac{D}{2} \right)^2 \approx 63.617 $$

Seulement voilà : la méthode proposée par notre bon scribe a de quoi surprendre. En effet, il nous propose de soustraire un neuvième du diamètre et d’élever ce qui reste au carré :

$$A \approx \left( \frac{8}{9} D \right)^2 = 64$$

Étrange n’est-ce-pas ? La méthode d’Ahmose ne ressemble à rien de ce que nous connaissons et pourtant, elle donne un résultat tout à fait acceptable et ce, quel que soit le diamètre : vous obtenez toujours une aire surestimée d’à peine 0.6%.

Comment en sont-ils arrivés à ce résultat ? Évidemment, on en sait rien mais l’hypothèse qui me semble la plus plausible est celle qui nous est proposée par Richard Gillings, via Jason Dyer : en substance, ils sont passés par un octogone irrégulier.

Considérez la figure suivante :

Octogone irrégulier

Nos amis égyptiens, qui étaient loin d’être manchots, avaient observé qu’on pouvait inscrire une cercle de 9 de diamètre dans un carré de 9 de côté et ils avaient aussi noté qu’en rognant les coins proprement, on obtient un octogone irrégulier qui approche raisonnablement bien notre cercle.

Ce qui nous fait donc un carré de 81 khet-carrés duquel il faut soustraire 18 petits carrés de 1 khet-carré pour approcher l’aire de notre cercle. Ce qui nous donne 63 khet-carrés.

De là, deux considérations. D’abord, 63, du point de vue d’un égyptien, ça n’est pas pratique du tout parce qu’en calculer la racine carrée, quand on ne maîtrise pas les notations décimales [8], c’est un cauchemar. Ensuite, on voit bien que cette approximation conduit à sous-estimer l’aire réelle de notre cercle : on en enlève plus sur les coins que ce qu’on en rajoute sur les côtés.

C’est-à-dire que, quitte à faire des estimations, on pourrait tout aussi bien n’enlever que 17 petits carrés de 1 khet-carré plutôt que 18 : il nous reste alors 64 khet-carrés. La racine carrée de 64 c’est 8 ; ce qui correspond bien à la méthode préconisée par Ahmose.

Notez qu’on peut aussi bien arriver à ce genre de conclusions en procédant comme ça :

Plus précis

Sur 324 carrés je dois en enlever 70 ce qui m’en laisse 254. Encore une fois, ça n’est pas très pratique mais avec $16\times16=256$ je m’en sors tout à fait honorablement et constate non sans plaisir que 16 c’est bien $8/9\times18$.

Tout porte à croire qu’ils ont suivi ce genre de raisonnement et c’est d’autant plus tentant que, dans l’exercice 48 où Ahmose nous propose de comparer l’aire d’un cercle de 9 de diamètre à celle d’un carré de 9 de côté, il trouve $64/81$ et agrémente son résultat d’un petit dessin :

Cercle ou octogone ?

Mais au fond, peu importe le chemin qu’ils ont suivi pour y parvenir, nos égyptiens de 1650 ans av. J.-C. (et sans doute avant) appliquent une méthode qui, en notant $r$ pour le rayon d’un cercle, revient à faire :

$$A \approx \frac{256}{81} r^2$$

Or, mais vous l’aviez deviné, $256/81 \approx 3.16$.

Alors non, effectivement, ils n’utilisaient pas explicitement une constante par laquelle ils multipliaient le carré du rayon pour obtenir l’aire d’un cercle mais, et c’est absolument remarquable, ils passaient par une méthode [9] qui revient exactement au même. On peut donc, je crois, dire qu’ils connaissaient $\pi$ ce qui, naturellement, ne signifie pas qu’ils étaient les seuls ni même les premiers. Je dis ça parce que, dans la grande aventure de la découverte de $\pi$, les mésopotamiens [10] sont de très sérieux concurrents.

La trentième constante

En 1936, lors des fouilles de la ville royale de Suse dans l’actuel Iran, l’archéologue Roland de Mecquenem va découvrir une série de tablettes d’argiles tout à fait remarquables qui, pour des raisons que je vous laisse deviner, ne seront sérieusement étudiées [11] qu’à partir de 1950. Datées d’à peu près la même époque que le papyrus de Rhind, ces tablettes vont jeter un nouvel éclairage sur ce qu’on pensait savoir des mathématiciens mésopotamiens : on les savait bons mais on découvre à cette occasion qu’ils étaient encore meilleurs que ce qu’on pensait.

En substance et je paraphrase ici les conclusions du professeur Bruins : on avait affaire à de purs théoriciens, des gens qui faisaient « de la science pour la science » et qui avaient acquis des compétences géométriques — notamment en matière de polygones réguliers — qui les plaçaient au niveau qu’atteindront les philosophes grecs un bon millénaire plus tard.

Une tablette, en particulier, nous intéresse : c’est la tablette I qui constitue une sorte de répertoire de 70 constantes mathématiques dont 36 pour des figures géométriques.

Dès les trois premières lignes, l’auteur inconnu de ce document nous propose ce qu’il appelle les « constantes du cercle » ; en l’occurrence, trois chiffres donnés en écriture cunéiforme : 5, 20 et 10. Naturellement, pour nous qui sommes habitués au système décimal (en base 10), ces chiffres n’évoquent rien. C’est l’occasion d’introduire ici la grande spécificité du système de numération mésopotamien : c’est un système sexagésimal (en base 60) qui se trouve par ailleurs être le premier système positionnel [12] de l’histoire. C’est-à-dire que nos « constantes du cercle » se lisent :

$$\frac{5}{60}, \frac{20}{60}, \frac{10}{60}$$

Or, si vous considérez un cercle de circonférence $C=1$ et utilisez $\pi=3$, ces trois constantes donnent respectivement l’aire ($C^2/4\pi$), le diamètre ($C/\pi$) et le rayon ($C/2\pi$) de votre cercle.

Évidemment, ça fait beaucoup de « si » et on peut à bon droit s’interroger sur cette interprétation. Sauf que la tablette YBC 7302 de la Yale Babylonian Collection confirme que c’est bien comme ça que les mésopotamiens envisageaient le problème. Voici à quoi ça ressemble :

YBC 7302

On voit distinctement notre disque avec, en écriture cunéiforme, les chiffres 3 en haut (c’est la circonférence $C$), 9 à droite (c’est juste $C^2$) et, au centre, le chiffre 45 — c’est-à-dire $45/60=0.75$ — qui nous donne bien l’aire du disque ($A$) surestimée d’environ 4.7%. C’est-à-dire que nos mésopotamiens « connaissent $\pi$ » et l’approche grossièrement avec 3.

Mais cette fameuse tablette I laisse à penser qu’ils étaient capable de bien mieux que ça. Après quelques variations sur le thème du cercle l’auteur s’attaque (constantes 26, 27 et 28) à l’aire de polygones réguliers avec un côté de 1 ; dans l’ordre : sa « constante du pentagone » est correcte à -3.1% près, celle de l’hexagone est juste à +1% et celle de heptagone est exacte à +1.4%. Ensuite, il enchaîne avec la hauteur d’un triangle équilatéral de 1 de côté (constante 29) : il annonce 52.30 en notation sexagésimale ce qui est correct à 1%. Enfin, et j’arrête là, il nous propose une « constante de la diagonale du carré » de côté 1 (constante 31) — c’est-à-dire, l’air de rien, $\sqrt{2}$ — qu’il estime à 1.25 (soit $17/12 \approx 1.417$) soit un résultat surestimé d’à peine 0.2%.

Or, il y a au moins trois raisons de penser que cette table de constantes n’est qu’un simple pense-bête destiné à simplifier les calculs ou, pour dire les choses autrement, qu’ils étaient capables de bien plus de précision quand ça s’avérait nécessaire.

Primo, sur la la tablette YBC 7289 qui lui est dédiée, ils estiment $\sqrt{2}$ à 1.24.51.10 soit 1.1042130 en base 10, une valeur exacte à 6 décimales près : preuve que quand ils voulaient, ils pouvaient. Deuxio, des mathématiciens capables d’estimer la surface d’un hexagone régulier de diamètre 1 ne peuvent pas ignorer que ce même hexagone a un périmètre de 3 et que la circonférence du cercle dans lequel cet hexagone est inscrit est nécessairement supérieure à 3 : donc ils savaient que leur estimation de $\pi$ était en deçà de la réalité. Tertio, nous n’avons pas encore parlé de la trentième constante.

C’est la « constante du cycle » (cercle plus parfait) pour laquelle le scribe annonce 57.36 (soit $24/25=0.96$). J’imagine volontiers les abîmes de perplexité dans lesquels ce chiffre peut plonger le lecteur qui le considère isolément du reste. Mais si vous le regardez à la lumière de ce que j’ai dit plus haut, ça saute aux yeux : c’est un facteur d’ajustement ; pour dire les choses simplement, ils ont rempli les vides autour de l’hexagone [13] :

Plus grand que 3

C’est-à-dire que, pour un « cercle plus parfait », il ne faut pas utiliser $\pi=3$ mais :

$$\pi = \frac{3}{24/25} = 3.125$$

Nous voilà donc bien avec une constante qui, même si elle n’était peut-être pas utilisée comme telle, aurait eu bien du mal à échapper à l’auteur de la tablette I. On ne sait pas comment ils y sont arrivés mais, si c’est bien par des polygones réguliers inscrits dans le cercle, ils étaient sur une voie prometteuse [14] qui aurait pu tout aussi bien déboucher sur les méthodes d’encadrement utilisées par Archimède.

Conclusion

On peut donc dire qu’aux environs de l’an 1600 av. J.-C. et sans doute plus tôt que ça encore, les lettrés égyptiens et mésopotamiens disposaient de bonnes approximations de $\pi$ qui, vous l’avez remarqué, encadrent sa vraie valeur à plus ou moins 0.02 près. C’est-à-dire qu’à l’époque, la meilleure méthode consistait à prendre leurs résultats respectifs et à en faire la moyenne.

Ce qui est absolument remarquable, c’est qu’ils y arrivent probablement par deux méthodes différentes. Les égyptiens, en bons ingénieurs, approchent le cercle de façon empirique en passant par un polygone irrégulier tandis que les mésopotamiens, théoriciens dans l’âme, exploitent leur maitrise des polygones réguliers. C’est-à-dire qu’ils sont sans doute arrivés à leurs résultats respectifs de façons indépendantes.

C’est un leitmotiv de l’histoire des sciences comme en témoignent, en maths, la controverse Newton—Leibniz ou, en économie, la révolution marginaliste. Nous construisons tous sur les épaules des géants qui nous ont précédés et, chemin faisant, il arrive fréquemment que des influences communes produisent les mêmes résultats. C’est peut-être aussi ce qui s’est passé avec $\pi$ : après tout, les années de 12 mois et les journées de 12 heures, utilisées en Égypte comme en Mésopotamie, ont sans doute quelque chose à voir avec l’héritage sumérien [15].

À ce propos, il est frappant de constater que les théories les plus intéressantes qui me soient tombées sous la main aient été développées par des amateurs éclairés puis publiées en accès libre sur leurs blogs respectifs. C’est d’autant plus frappant que, lorsqu’on cherche des publications d’archéologues professionnels on ne trouve, à peu de choses près, rien. Je crains que cette tour d’ivoire dans laquelle tend à s’enfermer le monde académique ne soit pas une bonne chose : aurait-on pu découvrir $\pi$ en se comportant comme ça ?

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[1] Même si d’autres mathématiciens ont pu en avoir l’intuition (peut-être Aryabhata vers 500 ou Muhammad al-Khwarizmi entre 813-833), la première démonstration formelle est de Jean-Henri Lambert en 1761.
[2] Il n’existe que des valeurs approchées comme les deux bornes proposées par Archimède ($223/71 < \pi < 22/7$ ou la remarquable approximation de Zu Chongzhi ($355/113$).
[3] Détail amusant : à partir de la 762ème décimales, on trouve une séquence de six 9 consécutifs.
[4] En septembre 2010, Nicholas Sze (Yahoo!) a fait tourner 1 000 ordinateurs pendant 23 jours pour obtenir ce résultat et découvrir que la $2\times10^{15}$ème décimale de $\pi$ est $0$.
[5] Jörg Arndt et Christoph Haenel, $\pi$ Unleashed (2006).
[6] Plantez un bâton, attachez-y une corde dont vous connaissez la longueur, tournez en creusant un sillon et mesurez-en la longueur avec une autre corde.
[7] Il est probablement issu de fouilles illégales dans les ruines d’un petit bâtiment à côté du Ramesseum.
[8] Ils utilisent un système de numération additionnel (un peu comme celui des grecs et des romains) et tout ce qui est inférieur à l’unité est exprimé sous forme de fraction.
[9] Notez, c’est amusant, qu’ils calculent des aires et même des volumes de silos à grain cylindriques mais — à ma connaissance — pas la moindre circonférence : de là à y voir la volonté de régler d’éventuels litiges commerciaux ou fiscaux…
[10] On lit souvent babyloniens. De fait, Babylone a longtemps été la plus importante cité du monde mésopotamien et même du monde tout court. Néanmoins, réduire l’extraordinaire civilisation mésopotamienne à la seule Babylone est un raccourci auquel je me refuse ; c’est ignorer l’importance de cités remarquables comme Uruk, Ur, Ninive, Nippur et j’en passe.
[11] Elle ont été traduites par Marguerite Rutten, du Musée du Louvre et interprétées par le professeur Evert Marie Bruins, spécialiste de l’histoire des mathématiques de l’Université d’Amsterdam.
[12] C’est-à-dire, sans rentrer dans les détails, que 5 peut signifier $5$ mais aussi, en fonction du contexte, $5\times60^2 = 18000$, $5\times60 = 300$, $5/60 \approx 0.083$, $5/60^2 \approx 0.001$ etc. Ce n’est que plus tard qu’ils auront l’excellente idée d’ajouter des points pour lever l’ambigüité ; et ce sont ces mêmes points qui, beaucoup plus tard, seront transformés en $0$ par les mathématiciens arabes.
[13] Les plus courageux pourront accompagner Jean Brette dans sa Promenade mathématique en Mésopotamie pour une découvrir comment ils sont peut-être arrivés à ce résultat.
[14] Notez que ça demande un peu de travail : avec un 360-gone de diamètre 1, on arrive à 3.141553.
[15] Qui, semble-t-il, utilisaient un système duodécimal (base 12) dont les origines étaient sans doute aussi pratiques (douze phalanges sur quatre doigts) que mystiques (les cycles de Jupiter).

--- Une très courte biblio

J’ai lu un bon paquet de choses pour écrire cet article mais peu ne se sont révélées aussi utiles que le blog de Jason Dyer (notamment On the Ancient Egyptian Value for Pi et On the Ancient Babylonian Value for Pi) ainsi que la très instructive Promenade mathématique en Mésopotamie de Jean Brette.

--- Quelques notes complémentaires

Dans I Rois 7, 23 : « Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. » Un cercle de 10 de diamètre aurait donc une circonférence de 30...

Le Shatapatha Brahmana (8-6ème siècle av. J.-C.) : $339/108 \approx 3.1389$.

Archimèdes de Syracuse (287 — 212 av. J.-C.) : $223/71 < \pi < 22/7$ ($3.1408 < \pi < 3.1429$)

Claude Ptolémée (90 — 168 apr. J.-C.) : $1131/360 \approx 3.1417$

Zu Chongzhi (429 — 500 apr. J.-C.) : $355/113 \approx 3.1416$

Autre démonstration mathématique des mésopotamiens avec la tablette Plimpton 322.

Reproduction de la tablette I

19 septembre 2016

La grande pyramide et la vitesse de la lumière

(Cet article fait partie d’une série dans laquelle je m’amuse à démonter les théories ésotériques avancées par Jacques Grimault, principalement dans La révélation des pyramides.)

Les pyramidologistes ont trouvé la vitesse de la lumière dans la Grande Pyramide de Khéops. Ils l’ont même trouvée deux fois. Démonstration :

Dans Google Maps, tapez les coordonnées 29.9792458, 31.1342580 (soit, en notations sexagésimales, une latitude de 29°58’45’’ Nord et une longitude de 31°08’03’’ Est) et vous tombez sur la Grande Pyramide de Gizeh. Et alors ? Eh bien il se trouve que 29.9792458 c’est exactement la vitesse de la lumière ($c$) exprimée en dizaines de millions de mètres par seconde (soit $c \times 10^{-7}$ mètres/seconde).

Woo !

Par ailleurs, nous explique Jacques Grimault, lorsqu'elles sont mesurées en mètres, la circonférence du cercle circonscrit à la base de la pyramide moins celle du cercle inscrit donne une très bonne approximation de la vitesse de la lumière en milliers de kilomètres par seconde. Vous pouvez vérifier : avec des côtés de 440 coudées et une coudée de 0.5236 m, ça fait 299.796 pour une vitesse de la lumière de 299.792 milliers de kilomètres par seconde.

Et donc, re-Woo !

Implications

C’est-à-dire que non seulement les égyptiens savaient que la lumière a une vitesse constante [1] mais ils étaient capables de la mesurer au mètre/seconde près — chose qui, selon l’histoire officielle, ne nous a été possible que dans la première moitié des années 1970.

Mieux encore : ça signifie aussi qu’ils utilisaient le mètre comme unité de longueur ; c’est-à-dire que, exactement comme nous, il ont divisé un méridien terrestre par 20 millions, ils ont fait la même erreur que nous en sous-estimant la longueur desdits méridiens de 3 932 mètres exactement [2] puis ils ont précisé la définition de ce mètre erroné en fonction de la vitesse de la lumière.

Mais ce n’est pas fini : ça signifie encore qu’ils utilisaient un système numérique en base 10 pour les longueurs (ce qui est non seulement crédible mais avéré) mais aussi un mélange de systèmes duodécimal (base 12) et sexagésimal (base 60) pour mesurer le temps, exactement comme nous [3].

Enfin et pour rester dans le même ordre d’idées, ils divisaient la circonférence terrestre (et les cercles) en 360 degrés, comptaient les latitudes de part et d’autre de l’équateur — exactement comme nous — mais, et là c’est une différence notable, divisaient les degrés avec un système décimal plutôt que sexagésimal (60 minutes, 360 secondes).

Les pyramidiots ne croient pas aux coïncidences sauf, manifestement, quand ça les arrange.

Le parallèle $c \times 10^{-7}$ mètres/seconde Nord

D’abord, si la grande pyramide se trouve là où elle est, c’est parce que le plateau de Gizeh est un gros bloc de calcaire situé pas loin de Memphis à l’ouest du Nil — comme toutes les nécropoles de l’Ancien Empire (Dahshur, Saqqarah, Abousir et même Meïdoum) — et se trouvait déjà être un cimetière depuis au moins la première dynastie. On sait même pourquoi la grande pyramide se trouve précisément là où elle est sur le plateau : elle a été construite sur un promontoire rocheux qui a permis à ses bâtisseurs d’économiser plus de 20% de son volume [4].

Ensuite, il faut bien comprendre que des coordonnées terrestres exprimées avec sept chiffres après la virgule, ça vous donne une précision de l’ordre du centimètre. C’est-à-dire que si vous rentrez juste 29.979 et 31.134 dans Google Maps, vous tombez aussi sur la grande pyramide et ça marche avec toutes les latitudes Nord comprises entre — grosso modo — 29.9782 et 29.9801. En d’autres termes, les trois dernières décimales ne sont là que pour impressionner le chaland et si c’est à un jeu de précision que vous voulez jouer, cette latitude magique ne correspond ni à l’apex de la pyramide ni à aucune des chambres funéraires — au mieux, ça coupe la grande galerie et le couloir descendant.

Enfin et histoire d’enterrer définitivement cette idée absurde, je signale qu’il existe un phénomène connu sous le nom de tectonique des plaques qui fait que, depuis une centaine de million d’années environ, la plaque africaine se déplace à une vitesse estimée de 2.15 cm par an vers le Nord-Est. Évidemment, 2.15 cm ça n’a l’air de rien comme ça mais, sur 4 500 ans, ça fait quand même plus de 97 mètres (soit, grosso modo, une latitude initiale de l’ordre de 29.9787). Oups…

Bref, nous n’avons là qu’une vague coïncidence qui ne repose que sur une série d’anachronismes parfaitement improbables et une virgule placée arbitrairement. Juste pour rire, signalons aux piramidiots que les coordonnées $10\pi$ Nord $10\pi$ Est tombent aussi en Égypte : prenez vos pelles et vos seaux, c’est bien le diable si un grand secret n’est pas caché là-bas.

Perdu dans les coudées

Passons au savant calcul de Jacques Grimault. La première chose que vous pouvez facilement constater, c’est que la validité de cette démonstration dépend de la valeur qu’on veut bien donner à la coudée royale en mètres. Avec 0.5236 mètres, on obtient bien 299.796 — c’est-à-dire une estimation de la vitesse de la lumière à 4 003 kilomètres/seconde près — mais en retenant la définition officielle de Grimault (soit $\pi-\phi^2$) ça fait plutôt 299.773 — soit une erreur de 23 667 kilomètres/seconde ; ce qui, pour toute application pratique autre que la pyramidologie, fait un gros écart.

Détail amusant : lorsqu’il se livre à cet exercice, Jacques Grimault trouve une différence de 299.79613 ; résultat que je n’arrivais pas à reproduire avec ses propres hypothèse. Figurez-vous qu’après avoir affirmé un nombre incalculable de fois que ce chiffre était faux, il a utilisé une coudée royale de 0.5235 mètre et ce, juste pour réduire l’erreur de son calcul de 331 ridicules mètres/seconde.

Notez enfin qu’en utilisant la longueur moyenne des faces de la pyramide telles qu’elles ont été mesurées par des gens tout à fait sérieux — soit 230.35 m — ont obtient une pseudo-vitesse de la lumière encore plus fausse de 299.74899 milliers de kilomètres par seconde. Bref, non : il n'y a pas l'ombre d'une vitesse de la lumière dans la pyramide mais seulement un calcul alambiqué qui donne, grosso modo, 299.75 mètres.

---
[1] Ce que, chose amusante, Jacques Grimault nie avec véhémence.
[2] À l’attention des clowns qui s’apprêtent à m’expliquer que c’est le mètre qui a été défini en fonction de la coudée royale (le coup de $6/\pi$ coudées = 1 mètre) : vous voudrez bien m’expliquer par quelle sorte de miracle ce splendide calcul est tombé pile sur la longueur estimée d'un méridien au XVIIIème.
[3] Eh oui : diviser une journée en 24 heures c’est une convention ; diviser l’heure (et les 360 degrés d’un cercle) en 60 minutes et en 3 600 secondes, c’en est une autre. Il semble bien que la journée de 24 heures soit une invention égyptienne (probablement inspirée des 12 gardes de la journée sumérienne), à ceci près que leurs heures étaient de durées variables en fonction de la saison. Quant aux minutes et aux secondes, on est à peu près sûr qu’elles ont été inventées par Hipparque de Nicée vers 127 av. J.-C. (qui a aussi introduit l’idée d’heures de durée égale) en se basant sur les connaissances trigonométriques et le système sexagésimal des babyloniens.
[4] Et c’est aussi la cas de la pyramide de Khepren ; voir S. Raynaud, H. de La Boisse, F. Mahmoud Makroum et J. Bertho, Étude géologique et géomorphologique de la colline originelle à la base des monuments de la quatrième dynastie égyptienne (2008).

16 septembre 2016

Pyramidology, a vademecum

Pyramidology refers to various pseudoscientific theories about pyramids, mostly Egyptian, and specifically Khufu’s Great Pyramid of Giza (thereafter the GP). Most of pyramidologists’ claims fall into one or a combination of the following claims: (i) the GP isn’t a tomb but serves other purposes (a power plant, a representation of the Earth, the Solar System, the Milky Way or of the whole Universe, a message intended to us or to somebody else, a giant pyramid-shaped crystal ball…), (ii) it was impossible to build such a monument with known technologies of that time hence, a technologically advanced civilization (Atlanteans, ancient astronauts…) must have did it or, at least, must have helped ancients Egyptians and (iii) there are physical and/or mathematical constants — mostly Pi ($\pi$) and the golden ratio ($\phi$) — intentionally hidden in the dimensions of the GP.

This post focuses on the latest which is arguably the most active and influential branch of pyramidology and serves as a starting point to most pyramidiotic theories. As stated above, most theories focus on $\pi$ and $\phi$: let’s start by this; I’ll try to complete later.

Piramidology and Phiramidology

Piramidology (resp. phiramidology) is the art of looking for Pi ($\pi$) (resp. $\phi$, pronounced “Phi”, the Golden Ratio) in the dimensions of the GP and finding it everywhere. As I will show, piramidology and phiramidology are inextricably linked one another so that one may use these terms interchangeably.

The facts

The GP was designed to be a square pyramid with a total height of 280 royal cubits (c. 146.6 meters) and a square base with edges of 440 royal cubits (c. 230.4 meters). Being a round multiple of 28, the height of the pyramid was probably chosen after the royal cubit which was divided into 7 palms of 4 digits each, yielding a total of 28 digits.

The second key parameter was the 28/22 slope of the GP. It is well documented that ancient Egyptians measured slopes with a seked — that is a number of palms and digits horizontally for one royal cubit vertically. At the time of Khufu, the seked of 5 ½ palms (that is 22 digits) was an obvious choice. The only smooth-sided pyramid that was ever attempted with a shorter seked (resulting in a steeper pyramid) was the so-called Bent Pyramid built by Sneferu, Khufu’s father, with an initial seked of 5 and it was an obvious failure. On the other hand, choosing a longer seked (a flatter pyramid) would have increased construction time and costs dramatically: adding just one digit to the seked of Khufu’s pyramid (a 5 ¾ palm seked) would have increased its volume by 9.3%.

At the time of Khufu, the steeper successful pyramid ever built was the Meidum pyramid. It was originally built as a step pyramid for Khufu’s grandfather Huni and then turned into the first smooth-sided pyramid ever by Sneferu with a seked of 5 ½ palms. So it really was an obvious choice; a choice consistent with virtually everything we know about Egyptian architecture at that time. Applying that seked to the (probably) intended 280 royal cubits height of the GP obviously yields a base with four edges of 440 royal cubits.

It is worth mentioning here that many pyramids where built with that very same seked: the pyramid in Meidum of course but also Menkaure’s pyramid at Giza or Nyuserre’s in Abusir. Starting with the GP it actually became one of the most popular standard for large pyramids and was only surpassed by the 5 ¼ palms seked of Khafra’s pyramid. Shorter seked (larger inclinations) were only used for small pyramids such as satellites.

The bullshit

It happens that $28/22$ (about 1.2727…) is remarkably close to both $4/\pi$ (about 1.2732…) and $\sqrt{\phi}$ (about 1.2720…). It is, of course, a well-known mathematical coincidence but, when manipulated by pyramidologists with basic skills in algebra and presented to plain idiots, it may well serves as a perfect bedrock for a full-scale pyramidiotic theory.

The whole thing may be summarized by the…

First Law of Pyramidology

$$ \frac{4}{\pi} \approx \frac{28}{22} \approx \sqrt{\phi} $$

From this, starting with a guy named John Taylor in 1859, one can easily link the slope of the GP (the $28/22$ ratio) to both $\pi$ and $\phi$ by cherry picking measures and taking advantage of most people's decimal blindness [1].

The most obvious one is, of course, “half the perimeter of the base divided by the height yields $\pi$”. This, of course, uses the $28/22 \approx 4/\pi$ approximate equality. A more sophisticated variation — often used in conjunction with the latest to reinforce the feeling of wonder — is: “the height equals the radius of the circle which circumference equals the perimeter of the base”. Which is the exact same relationship used the other way around. Most (if not all) of piramidology is based that simple relation.

Phiramidology uses the $28/22 \approx \sqrt{\phi}$ approximate equality. Anyone familiarized with the Pythagorean Theorem would inevitably think of the way we measure the hypotenuse of a right triangle. Indeed, “the apothem of each face divided by half an edge of the base yields $\phi$” and alternatively (or cumulatively) “the surface of the four faces divided by the surface of the base yields $\phi$” — which is, of course, the same ratio using areas instead of lengths.

This is pretty much everything one needs to know. The art of piramidology/phiramidology then consist in recycling these approximate equalities, making nice scheme, finding esoteric justifications and mixing them with actual facts: for instance, the floor of the queen’s and the king’s chambers are roughly at 1 and 2 seventh respectively of the total GP’s height (I’ll let you play with that).

Pyrametrology

Pyrametrology is a more subtle and recent form of piramidology/phiramidoly. It is the art of converting royal cubits into meters and then, find $\pi$ and $\phi$ everywhere.

The facts

The main [2] measures of length used by Egyptians at the time of Khufu were the “small” cubit and the royal cubit. The former was divided into 6 palms of 4 digits each while the latter was 1 palm longer. Just like all cubits across history, the origin of the Egyptian cubits is beyond any doubt anthropometric. This is obvious from the names of their subdivisions — digit, palm (4 digits) but also hand (5 digits), fist (6 digits), span (3 palms) — and from the hieroglyph used to write them (there clearly is a human forearm).

While the “small” cubit fits nicely with the forearm, as measured from the elbow to the tip of the middle finger, of a 170 cm tall human (about 45 cm) the royal cubit looks a bit long for a man of that time (about 52.5 cm). It isn’t that surprising: many anthropometric units deemed to be “royal” were greatly exaggerated. The French pied-du-roi (king’s foot), for instance, was well over 32 cm. Whatever the reason, we know the royal cubit was the unit used to build pyramids and that it was already in use around 3000 BC.

The problem is that, in three millennium of history, the actual size of the royal cubit has been varying a lot — so the 52.5 cm figure shouldn’t be understood as a precise number but rather as a raw average. Yet, from the measurements of the GP, most Egyptologists (the real scientists) agree that the royal cubit used in that occasion must have been around 52.35 cm long — the tenth of millimeters, of course, being subject to caution.

The bullshit

And this is where the bullshit starts. It happens that 0.5236, which is a reasonable estimate of the aforementioned royal cubit in meters, is remarkably close to both $\pi/6$ (about 0.523599…) and $\phi^2/5$ (about 0.523607…). It is, again, a well-known mathematical coincidence but you know what pyramidologists do with coincidences — yes, theories.

You saw it coming, here is the…

Second Law of Pyramidology

$$ \frac{1}{6}\pi \approx 0.5236 \approx \frac{1}{5}\phi^2 $$

From this, starting with another guy named Charles Funck-Hellet in 1952, one can easily convert royal cubits into meters to find $\pi$ and $\phi^2$ but, this only works if one follows the two rules of pyrametrology.

Rule #1: any measure in royal cubits that is a multiple of 6 will, once converted into meters, yield a multiple of $\pi$. That is, for any positive integer $f$ one may safely assume that:

$$6f \times 0.5236 \approx f\pi$$

Rule #2: any measure in royal cubits that is a multiple of 5 will, once converted into meters, yield a multiple of $\phi^2$. That is, for any positive integer $f$ the odds are that:

$$5f \times 0.5236 \approx f\phi^2$$

With these two rules and considering the fact that most of the dimensions of the GP in cubits are round numbers, anyone is able to find plenty of $\pi$ and $\phi^2$. For instance: “the height of the pyramid in meters plus half a edge of the base in meters yields a hundred times $\phi^2$.” Check it out yourself. Another one: “the height of the pyramid in meters minus half one edge of the base in meters yields a ten times $\pi$.

And since the “King’s Chamber” is 20 royal cubits long for a width of 10 royal cubits, you won’t be surprised to learn that “the perimeter of the King’s Chamber in meters yields ten times $\pi$” while “the perimeter of the King’s Chamber in meters minus its width in meters yields ten times $\phi^2$.” It works everywhere and, of course, you may use other integers than 10 or 100.

Interim conclusion

So, as you probably have noted, everything we’ve said so far holds together just because of the two Laws of Pyramidology. There’s nothing else. Yet, pyramidologists have discovered a few other amazing coincidences that need to be addressed. I’ll post that here.

To be continued…

---
[1] Decimal blindness : Everybody agrees that 3,141.59 and 3,1492.15 are two different figures yet, most people would agree to say that 3.149215 is $\pi$.
[2] There also used — at least — two shorter cubits: the remen (5 palms) and the “sacred cubit” (4 palms).

15 septembre 2016

Lettre de Hémiounou à Khéops

(Cette article farce fait partie d’une série dans laquelle je m’amuse à démonter les théories ésotériques avancées par Jacques Grimault, principalement dans La révélation des pyramides.)

Nous avons retrouvé une lettre de Hémiounou, architecte de la grande pyramide de Gizeh, adressée à Khéops (Khufu en V.O.) lui-même et nous nous faisons un devoir d’en publier ici la traduction intégrale.

***

De : Hémiounou
À : Khufu
Date : 29 Phaophi de Khufu 1
Objet : Projet Horizon de Toi

Cher Khufu,

Tu as bien voulu me confier le chantier de la pyramide que tu veux te faire construire sur le modèle de celles de papy [1], celles qui ont des faces lisses. Avant toutes choses je tiens à te remercier de la confiance dont tu m’honores et à t’assurer que je mettrai tout en œuvre pour la mériter.

Néanmoins, il faut quand même que je te dise que ça va être un peu coton. Un truc pareil, on n’a jamais fait. Deux cent quatre-vingt coudées ! Tu réalises, je pense, que c’est 80 coudées de plus que les deux de Dahchour. Juste pour mémoire : celle qui est toute moche [2] est tordue parce qu’avec un seked de 5, l’architecte de papy a bien vu que c’était trop lourd et si l'autre [3] tient bien c’est parce qu’elle a un seked de plus d’une coudée !

Tu me diras : on n’a qu’à faire ça ; un seked d’une coudée et ça tiendra. Moi je veux bien mais pour ton info j’ai fait le calcul : à 280 coudées de hauteur, ça multiplie le volume par pratiquement 2 ½. Bah oui, ça va vite. Si on part là-dessus, c’est plus que toutes les pyramides de papy, en comptant celle de Meïdoum [4]. C’est quand même pas tout à fait un détail : même si j’espère que tu règneras le plus longtemps possible, on n’a pas vraiment l’éternité devant nous.

Donc voilà : à priori, la pyramide de Meïdoum elle tient pas trop mal avec un seked de 5½. Si on s’y prend bien, si on se plante nulle part, ça devrait le faire et ça réduit quand même considérablement le temps de construction — et je te parle pas de la douloureuse. Je veux bien faire avec un doigt de moins, un seked de 5¼, mais je te préviens tout de suite : j’assume pas. C’est toi qui vois.

Non, sérieusement, il faut partir là-dessus : pour moi, le projet Horizon de Toi [5] c’est 280 coudées de haut sur 440 de côté. En plus ça simplifie tout et crois-moi qu’on va en avoir besoin : comme ça, tout tombe sur des chiffres ronds. Ça fait 140 tranches de 2 coudées et à chaque tranche on enlève 11 paumes de chaque côté. Simple et efficace. Non mais t’imagines si on demande aux autres illettrés de mesurer des cinquièmes de paume [6] ? Tu le vois venir le désastre ?

Voilà le topo. Sinon, pour l’emplacement, je propose le plateau de Gizeh. Je sais, c’est un peu au nord de Memphis mais tu vas voir qu’en fait c’est tip-top. D’abord, c’est haut juste comme il faut. Ensuite, en dessous c’est du calcaire : je dis ça parce que ton machin risque de peser un peu lourd — on va pas faire ça sur du limon hein ? — et parce que ça nous fait une carrière au pied du chantier. Après, il suffit de creuser un petit canal et on est sur le Nil : pas négligeable pour acheminer le calcaire de Tourah (le bien blanc là, pour les parements) et ton granite rose d’Assouan. Et pour finir — petit détail qui tue — j’ai même repéré un gros rocher là-bas : si on construit dessus, on économise genre 1/5 du volume !

Les autres détails techniques, je dis pas que ça sera facile mais rien d’infaisable. On va piquer les trucs de papy : l’alignement sur le soleil un jour d’équinoxe (spectaculaire et facile [7]), les chambres funéraires (on n’est pas encore tout à fait fixé sur la disposition) et le coup des encorbellements (faut bien admettre que ça claque !) Le seul gros sujet, c’est de monter les cailloux en cours de chantier. On a quelques idées mais on préfère bien y réfléchir parce qu’entre celles qui coûtent une blinde et celles qu’on n’est pas trop sûr de maîtriser, ça va se jouer à pas grand-chose.

Bref voilà. Je sais que cette lettre est un peu longue mais vu le chantier, je préfère qu’on se mette bien d’accord pour éviter les changements d’avis au dernier moment (si tu vois ce que je veux dire… [8]). Dans l’attente d’une réponse de ta part, je reste,

cher Tonton,

Ton humble est dévoué serviteur,

Hémiounou


P.s.: j’ai parlé du projet au matheux de Babylone (tu sais, le mec avec la grande barbe tressée). Il m’a dit qu’avec les proportions que je te propose, ta pyramide va être franchement fendarde ! Une histoire avec les cercles et un « chiffre doré » à laquelle, je te l’avoue, j’ai absolument rien entravé…

---
[1] Hémiounou est un des petits-fils de Snéfrou et donc, un neveu de Khéops ; d’où la familiarité du ton.
[2] La pyramide rhomboïdale.
[3] La pyramide rouge.
[4] Conçue pour Houni, le papa de Snéfrou mais terminée par ce dernier.
[5] Le vrai nom de code du chantier était bien sûr « Horizon de Khufu ».
[6] Il n’a pas tort Hémiounou : l’expérience prouve que demander à des analphabètes de calculer le cinquième d’un truc qui se divise en quatre, c’est risqué.
[7] Pourquoi tout le monde parle d’axe nord-sud ? À ce que je sache, un carré aligné sur le nord et le sud l’est aussi sur l’est et l’ouest. Or, pour faire ça au dixième de degré, vous avez juste besoin de deux bâtons. Rappel : c’est Snéfrou qui a fait ça le premier à Seïlah.
[8] Private joke familiale : sans doute une référence aux multiples changements de plan de la pyramide rhomboïdale.

Un peu de géométrie pyramidale

(Cet article fait partie d’une série dans laquelle je m’amuse à démonter les théories ésotériques avancées par Jacques Grimault, principalement dans La révélation des pyramides.)

En décortiquant un peu plus la théorie de Jacques Grimault, je réalise qu’on peut ramener la quasi-totalité des bizarreries géométriques de la grande pyramide de Khéops à deux aspects : le choix du seked et la conversion de la coudée royale en mètres.

Le seked magique

Un certain nombre de ces bizarreries découlent directement du choix de son seked de 5 ½ paumes (soit une pente de $28/22$ ou un angle d'environ $51.84$ degrés). Choix qui, je crois l'avoir montré, n’a absolument rien de mystérieux. Ce que ça signifie, concrètement, c’est que toutes les pyramides conçues avec la même pente — à commencer par celle de Meïdoum bien sûr puis, par exemple, celles de Mykérinos et de Niouserrê — présentent exactement les mêmes caractéristiques.

Considérez, par exemple, un modèle réduit de la grande pyramide d’une coudée royale de hauteur ($h$) — soit $28$ doigts — et avec un seked ($s$) de 5 ½ paumes — soit $22$ doigts. Voici à quoi ça ressemble en perspective cavalière :

Comme tous les pyramidologues depuis John Taylor en 1859 l’on noté :

« Le demi-périmètre de la base divisé par la hauteur donne $\pi$. »

C’est-à-dire qu’en notant $8s = 176 = P$ le périmètre de notre pyramide :

(1)

$$\frac{P/2}{h} = \frac{22}{7} \approx \pi$$

Ça fonctionne pour absolument toutes les pyramides conçues avec le même seked pour la bonne et simple raison que $22/7$ est une bonne approximation de $\pi$.

Notez aussi que l’affirmation selon laquelle :

« La hauteur de la pyramide est égale
au rayon du cercle de périmètre égal à celui de la base. »

… n’est qu’une variante de la précédente. En effet, le rayon ($r$) dudit cercle se calcule aisément :

$$r = \frac{P}{2\pi}$$

Or, vous pouvez réécrire (1) de la façon suivante :

$$h \approx \frac{P}{2\pi}$$

Ce qui revient exactement au même à l’approximation près (de fait, $r$ ne mesure pas $28$ mais un peu plus de $28.011$).

Par ailleurs, il se trouve aussi que :

« l’apothème d'une face divisée par une demie base
donne le nombre d’or ($\phi$). »

L’apothème ($a$) n’étant autre l’hypoténuse du triangle rectangle formé par notre seked, nous pouvons recourir aux services de Pythagore :

$$a = \sqrt{s^2+h^2}$$

Reste à diviser par $s$ :

(2)

$$ \frac{a}{s} = \frac{\sqrt{s^2+h^2}}{s} \approx \frac{35.6}{22} \approx \phi $$

L’égalité et encore plus approximative mais n’en reste pas moins amusante est valable pour toute pyramide conçue avec notre seked de 5 ½.

Partant de là, il va de soi que l’affirmation selon laquelle :

« La surface des quatre faces divisée par celle de la base donne $\phi$. »

… est purement et simplement redondante. En effet, on nous propose de calculer :

$$\frac{4\frac{2as}{2}}{(2s)^2} = \frac{a}{s}$$

Ce qui donnera vraisemblablement la même approximation du nombre d’or.

Notez que pour obtenir une égalité parfaite dans (1), il fallait choisir un seked de :

$$s = \frac{\pi}{4}h \approx 21.99$$

Pour tomber pile sur le nombre d’or dans (2), il fallait choisir :

$$s = \frac{h}{\sqrt{\phi}} \approx 22.01$$

Ce qui n’est pas sans rappeler la coïncidence mathématique bien connue qui fait que :

$$ \frac{4}{\pi} \approx \sqrt{\phi} $$

… et notez enfin que $28/22$, la pente de toute pyramide conçue avec un seked de 5 ½ paumes, donne à peu près $1.2727…$. Je vous laisse comparer ce chiffre avec $4/\pi$ et $\sqrt{\phi}$.

Autre relation remarquable :

« L’aire au niveau du sol de la chambre du roi
est le double de l’aire de la base. »

Effectivement, le sol de la chambre funéraire en question se trouve à $82$ coudées du sol soit, dans notre pyramide miniature, à $h’ = 8.2$ doigts. On peut mesurer la longueur des côtés à cette hauteur avec :

$$2 \times \left( s – h’\frac{s}{h} \right) \approx 31.114$$

Ce qui nous donne une aire de $968.1$ coudées-carrées qui est effectivement quasiment identique à la moitié des $1936$ coudées-carrées de la base.

Il n’est pas du tout exclu que ce soit bien une volonté de l’architecte mais ça peut aussi être un hasard. En effet, une hypothèse concurrente suppose que la chambre du roi a été construite à $80$ coudées de hauteur — les $2$ coudées manquantes correspondant à l’épaisseur du sol en granite — c’est-à-dire à $2/7$ de la hauteur totale ($2$ paumes dans notre miniature).

Il est évidemment très difficile de trancher là-dessus dans la mesure où les architectes égyptiens étaient parfaitement capables de tels calculs. Toujours est-il que le sol de la chambre de la reine se situe à un peu plus de $40$ coudées du sol soit $1/7$ de la hauteur totale c'est-à-dire $1$ paume dans notre miniature…

Évidemment, si on retient cette hypothèse, on peut ré-exploiter (1) à l’envie et dire, par exemple que :

« Le périmètre de la base divisé par la hauteur de la
chambre du roi donne sept fois $\pi$ »

… et rajouter que :

« Le demi-périmètre de la base divisé par la hauteur
de la chambre de la reine donne aussi sept fois $\pi$. »

On peut sans doute en trouver bien d’autres. Je compléterai cette section si besoin est.

Les pieds dans le mètre

En 1952, un certain Charles Funck-Hellet s’aperçu que, par le plus grand des hasards (même si, évidemment, les pyramidologues y voient tout autre chose que du hasard) :

$$\frac{\pi}{6} \approx 0.5236$$

… ce qui se trouve être un chiffre très proche de nos estimations de la longueur de la coudée utilisée dans la GP exprimée en mètres.

Mais, me direz-vous, pourquoi diviser $\pi$ par $6$ précisément ? Pourquoi pas par $4$ ? Pourquoi pas par $5$ ? Eh bien parce qu’en plus de celle citée plus haut, il existe une autre coïncidence mathématique qui permet de lier approximativement $\pi$ et $\phi$ :

$$ \frac{5}{6} \pi \approx \phi^2 $$

C’est ce qui permet au pyramidologue d’affirmer, en notant $c$ notre valeur de la coudée donnée en mètres ($c = 0.5236$), que :

$$ c \approx \pi - \phi^2 $$

Ou, puisque par définition $\phi^2 = \phi+1$ :

$$ c \approx \pi - \phi - 1 $$

Or, outre le fait que ça permet de faire des jolis dessins, ces deux relations tout à fait accidentelles permettent d’établir deux lois (appelons ça comme ça) extraordinairement utiles :

Primo : toute mesure établie en coudées royales qui est un multiple de $6$ « résonne », une fois convertie en mètres, avec $\pi$. En maths, ça signifie que pour tout entier positif $f$, on peut écrire :

(3)

$$ 6f \times c \approx f \pi $$

Deuxio : toute mesure établie en coudées royales qui est un multiple de $5$ « résonne », une fois convertie en mètres, avec $\phi^2$. C'est-à-dire que pour tout entier positif $f$, vous pouvez être assurés que :

(4)

$$ 5f \times c \approx f \phi^2 $$

Fort de ces deux lois, vous allez pouvoir faire « résonner » non seulement notre pyramide mais n’importe quel bâtiment ; pourvu qu’une ou plusieurs de ses dimensions, mesurées avec $c$, soient des multiples de $5$ ou de $6$.

En voici quelques unes, qui devraient vous rappeler quelque chose :

« La hauteur de la pyramide en mètres plus une demie base en mètres donne cent fois $\phi^2$. »

En effet, La hauteur ($280$) plus une demie base ($220$) font $500$ coudées : on peut donc appliquer (4) avec $f = 100$ :

$$ 5 \times 100 \times c \approx 100 \times \phi^2 $$

« Le périmètre de la chambre du roi en mètres donne dix fois $\pi$. »

En effet, $20$ coudées de longueur sur $10$ coudées de largeur donnent un périmètre de $60$ coudées ce qui devrait très bien résonner dans (3) avec $10\pi$ :

$$ 6 \times 10 \times c \approx 10 \times \pi $$

« La hauteur de la pyramide en mètres moins une demie base en mètres donne dix fois $\pi$. »

Mêmes causes mêmes effets : $280$ coudées moins $220$ coudées donnent aussi $60$ coudées et donc (3) :

$$ 6 \times 10 \times c \approx 10 \times \pi $$

« Le périmètre de la chambre du roi en mètres moins sa largeur en mètres donne dix fois $\phi^2$. »

En principe vous avez déjà deviné que ce savant calcul donne un multiple de $5$ (ça fait $50$ coudées) :

$$ 5 \times 10 \times c \approx 10 \times \phi^2 $$

« Le demi-périmètre de la pyramide en mètres moins sa hauteur en mètres donne cent fois $\pi$. »

Ça nous fait une différence de $600$ :

$$ 6 \times 100 \times c \approx 100 \times \pi $$

On peut sans doute en trouver d’autres. Souvenez-vous que ça marche pour n’importe quel entier positif $f$ et sur à peu près n’importe quoi même si, ses architectes ayant eu le bon goût de la concevoir avec des chiffres ronds, c’est beaucoup plus facile avec la pyramide de Khéops.

Conclusion

Bref, si vous mettez de côté cette histoire de surface au niveau du sol de la chambre du roi — qui peut être tout à fait volontaire — tout le reste repose sur (i) la pente de $28/22$ (soit le très classique seked de 5 ½ paumes) et (ii) la coïncidence qui veut qu’un sixième de $\pi$ donne un chiffre quasi identique à celui de la coudée en mètre. Tout est là ; vous n'avez besoin de rien d'autre.

13 septembre 2016

Des dimensions de la pyramide de Khéops

(Cet article fait partie d’une série dans laquelle je m’amuse à démonter les théories ésotériques avancées par Jacques Grimault, principalement dans La révélation des pyramides.)

Au départ, ce sont des mastabas. De ce point de vue, les tombes des deux premières dynasties de pharaons ne se distinguent en rien de celles de la période prédynastique : ce sont des monuments rectangulaires construits en briques de terre cuite, généralement situées à Oumm el-Qa’ab, non loin de l’emplacement supposé de Thinis [1, même si on en trouve quelques-unes à Saqqarah.

La première grande innovation, c’est à Djéser qu’on la doit ou, plutôt, à son vizir et architecte en chef : le très célèbre Imhotep. On est, grosso modo, 2600 ans av. J.-C. : après avoir construit un grand mastaba carré de 120 coudées de côté [2] à Saqqarah, un des premiers bâtiments égyptien réalisé en pierre de taille, le fondateur de la IIIème dynastie et son vizir vont avoir une idée stupéfiante : ils vont d’abord l’agrandir puis, empiler cinq autres mastabas par-dessus jusqu’à lui faire atteindre une hauteur de l’ordre de 118 coudées. C’est la première pyramide à degré de l’histoire égyptienne.

La capitale se déplace à Memphis et les tombes à Saqqarah mais la mode demeure : les pharaons de la IIIème dynastie se feront ériger des pyramides à degrés jusqu’au dernier d’entre eux, Houni, qui se fait construire un empilement de 7 mastabas à Meïdoum, à l’entrée du Fayoum, d’une hauteur de 138 coudées sur une base de 210 coudées.

Pyramide de Meïdoum [3]

Cette pyramide est remarquable. Non seulement c’est le première exemple connu d’encorbellement en Égypte ancienne mais elle va subir au moins deux séries de modifications : dans un premier temps, et sans qu’on sache exactement par qui, elle va être agrandie et se voir ajouter un huitième étage puis, elle va être transformée par Snéfrou, fils de Houni et premier pharaon de la IVème dynastie, qui va en faire la première pyramide à faces lisses de l’histoire.

Snéfrou le bâtisseur

Snéfrou est sans doute le plus grand bâtisseur de pyramides de l’histoire. On le crédite d’au moins quatre spécimens : outre la petite pyramide provinciale de Seïlah [4] — la première à être alignée sur les points cardinaux — il a terminé celle de son père à Meïdoum avant de se lancer dans deux autres projets à Dahchour ; la pyramide rhomboïdale et, dans la foulée voire en même temps, la pyramide rouge.

À l’échelle

On est presque certain qu’il a commencé par terminer la pyramide paternelle à Meïdoum et peut-être est-ce lui qui a décidé de son agrandissement. Ce qui est certain, en revanche, c’est que l’idée de combler les gradins avec du calcaire blanc de Tourah [5] pour lisser les faces est bel est bien de Snéfrou. Dans son état final, cette première vraie pyramide de l’histoire mesurait 178 coudées de haut sur une base de 280 coudées de côté ; soit, si vous faites le calcul, un seked [6] de 5 ½.

Notez bien ceci, c’est important : à Meïdoum, Snéfrou c’est adapté aux choix fait par son père ; lequel s’était fait faire un empilement de mastabas dont j’ai déjà donné les dimensions. Ce seked de 5 ½ ne résulte donc pas d’une volonté de Snéfrou mais d’un fait accompli auquel il s’est adapté avec la technologie dont il disposait.

Ce premier ouvrage d’envergure terminé, notre bâtisseur compulsif se lance dans une nouvelle opération particulièrement ambitieuse à Dahchour : une autre pyramide à faces lisses, certes, mais conçue comme telle dès le départ avec sur une base de 200 coudées de côté et avec un seked de 4 paumes — soit un angle vertigineux de 60 degrés et une hauteur prévue de 140 coudées. Las, c’était trop ambitieux : Snéfrou a été obligé d’élargir la base à 360 coudées et d’augmenter le seked à 5 paumes [7] puis, parce que l’ensemble pesait encore trop lourd, d’augmenter encore le seked en cours de construction. D’où le nom de la...

Pyramide rhomboïdale

Mais Snéfrou n’étant pas homme à se laisser abattre, il n’a même pas attendu que ce chantier soit fini pour en lancer un nouveau 2 kilomètres plus loin ; à ceci près que cette fois il ne prend pas de risque avec un seked de 30 (soit un angle d’un peu plus de 43 degrés) ; raison pour laquelle la pyramide rouge, première vraie pyramide conçue comme telle dès le départ, est relativement aplatie par rapport aux autres.

Khéops l'héritier

C’est à ce moment de l’histoire que Khéops, fils et héritier de Snéfrou le bâtisseur entre en jeu. Fort des expériences menées par son père, il sait qu’il est possible de construire une grande pyramide avec un seked de 5 ½ paumes (Meïdoum) mais qu’à 5 paumes (pyramide rhomboïdale 2.0), ça pose de gros problèmes de structure. Il aurait pu, bien sûr, tenter un seked de 5 ¼ mais au regard de ses ambitions en terme de hauteur, il a sans doute préféré rester en terrain connu : ce sera un seked de 5 ½ paumes et pas un doigt de moins.

Ce n’est que son fils Khephren, fort du succès de la grande pyramide et sans doute désireux d’égaler la gloire paternelle tout en économisant sur les matériaux, qui osera retirer encore un doigt (seked de 5 ¼). De fait, ces deux proportions resteront le standard de toutes les grandes pyramides qui suivront ; ce n’est que sur les plus petits édifices, notamment des pyramides satellites, qu’on s’aventurera sur des pentes plus importantes.

La grande pyramide de Khéops s’inscrit donc parfaitement dans la lignée des expériences de Snéfrou — parement extérieur, seked, encorbellement, aménagement des chambres funéraires… — à ceci près que le deuxième pharaon de la IVème dynastie veut une tombe gigantesque ou, plutôt, une très haute. À n’en pas douter, 280 coudées c’est haut. Mais le choix de ce chiffre précis ne doit lui non plus rien au hasard.

L’unité de mesure égyptienne, je le rappelle, c’est la coudée royale ; laquelle se divise en 7 paumes de 4 doigt chacune — soit 28 doigts — et c’est cette même unité qu’on utilise en position verticale pour mesurer un seked. C’est-à-dire que les dimensions de la grande pyramide ont été pensées pour simplifier au maximum les calculs des architectes et surtout le travail des contremaîtres sur le chantier ; lesquels devaient coordonner le travail de dizaines de milliers d’ouvrier, pour la plupart analphabètes [8].

Grille 40 Cr x 220 p

Ils sont donc allés au plus simple, au plus efficace. Les sections nord-sud et est-ouest de la grande pyramide s’inscrivaient dans un gigantesque quadrillage [9] qui permettait de contrôler à chaque étape l’avancée des travaux et, notamment, le point le plus sensible : s’assurer que toutes les arrêtes convergeront bien en un point unique située à 280 coudées du sol. Si l’architecte avait eu une règle graduée en centimètres, il serait sans doute parti sur une hauteur de 100 ou 150 mètres mais avec une coudée de 28 doigts, 280 coudées est un choix s’impose de lui-même.

Il n’y a donc pas le moindre mystère dans les dimensions de cette pyramide. On peut expliquer rationnellement et sans anachronisme son seked comme sa hauteur et tout le reste — la base, le volume… — découle de ces deux seules mesures. Et quand je dis tout le reste, je pense aussi aux coïncidences mathématiques que l’on voudrait nous faire passer pour intentionnelles. De fait, si vous divisez le demi-périmètre de la grande pyramide (880) par sa hauteur (280), ça vous donne 22/7 qui se trouve être une bonne approximation de π — ça fonctionne avec n’importe quelle pyramide basée sur un seked de 5 ½ mais du coup, pas sur celle de Khephren [10].

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[1] Capitale de l’Ancien Empire avant Memphis, on suppose qu’elle devait se trouver dans la région d’Abydos.
[2] C’est la première utilisation attestée de cette unité de longueur.
[3] Ce qu’il en reste aujourd’hui correspond à un amalgame des deux premiers étages, les étages 5 et 6 qui ont bien tenu et un bout du septième étage originel.
[4] C’est une pyramide à degrés, probablement la première entreprise par Snéfrou. Je la dit « petite » parce qu’elle ne mesure que 25 mètres de côté et « provinciale » parce qu’elle est dans le Fayoum, pas dans une grande nécropole de la région memphite.
[5] Fournisseur officiel du parement des pyramides qui suivront, j’en ai parlé ici.
[6] C’est la mesure d’angle des égyptiens : distance horizontale exprimée en paumes pour une coudée verticale (plus de détails ici).
[7] Raison pour laquelle on pense que le fameux pyramidion retrouvé aux pieds de la pyramide rouge était destiné à cette version de la pyramide devenue rhomboïdale.
[8] Aucune condescendance de ma part : ces gens étaient des paysans pour la plupart et savoir lire, écrire et compter, en Égypte, était le métier des scribes.
[9] Voir, à ce propos, la théorie fascinante développée par Ole Jörgen Bryn, un architecte norvégien. En autres choses, ça expliquerait pourquoi la chambre dite « du roi » est à 80 coudées de haut (2 paumes sur un plan d’une coudée) tandis que celle « de la reine » est à 40 coudées (1 paume).
[10] De façon assez amusante, sur la pyramide de Khephren, le même calcul donne exactement 3 ou, pour faire plaisir aux pyramidologues, $\pi \times \sqrt(\phi) - 1$.