Accéder au contenu principal

Modéliser des patrimoines avec une marche aléatoire

Challenge vient de publier son classement annuel des plus grosses fortunes françaises et, comme d’habitude, les résultats donnent lieu à un nombre effarant d’interprétations erronées. J’y reviendrai si je trouve le temps. En attendant, je vous propose de voir comment on peut modéliser l’évolution de patrimoines dans le temps avec une marche aléatoire.

Considérez $N$ patrimoines (avec $i \in \{1, 2, \ldots, N\}$) observés pendant $T$ années (avec $t \in \{1, 2, \ldots, T\}$). La variation annuelle du patrimoine $P_i$ de l'année $t-1$ à l'année $t$ s’écrit :

$$\delta_{i, t} = \log{\left(P_{i, t}/P_{i, t-1}\right)} = \log{(P_{i, t})} - \log{(P_{i, t-1}})$$

Et la variation totale du patrimoine $P_i$ au bout de $T$ années est simplement la somme de ses variations annuelles :

$$\delta_{i, T} = \sum_{t = 1}^T \delta_{i, t}$$

La valeur finale, au bout de $T$ années, du patrimoine $P_i$ s'écrit donc simplement :

$$ P_{i, T} = P_{i, 0} \times e^{\delta_{i, T}}$$

Supposons que les variations annuelles de nos patrimoines suivent une distribution stable — peu importe laquelle — de moyenne $\mu$ et d’écart-type $\sigma$. Au bout de $T$ années, on sait que la variation moyenne ($\mu_T$) des patrimoines sera de :

$$\mu_T = \mu \times T$$

Si on admet que ces variations ne sont pas autocorrélées [1], la formule de Bienaymé nous permet d’écrire que l’écart-type au bout de $T$ années ($\sigma_T$) sera de :

$$\sigma_T = \sigma \times \sqrt{T}$$

Par ailleurs, avec un nombre suffisant d’observations (d’années), le Théorème Central Limite nous apprend que la distribution des variations de nos $N$ patrimoines sur $T$ années suivra une loi normale — ou, du moins, quelque chose de proche — ce qui implique que la distribution des patrimoines eux-mêmes suivra une loi log-normale.

$$P_{i, T} \sim \mathcal{lnN}(\mu_T, \sigma_T^2)$$

Forts de ce qui précède, on peut estimer précisément tous les quantiles de la distribution des patrimoines finaux (au bout de $T$ années) et on peut surtout étudier comment la moyenne ($\mu$) et l’écart-type ($\sigma$) influent sur l’accroissement des inégalités.

Je laisse les amateurs vérifier par eux-mêmes mais le résultat est sans appel : plus la moyenne et l’écart-type sont élevés, plus les quantiles de patrimoine élevé (le seuil à partir duquel on appartient au top 1% par exemple) progressent plus vite que les autres (la médiane par exemple) — i.e. plus la distribution devient asymétrique à droite.

En d’autres termes, dans un monde (théorique) où les patrimoines évoluent de façon parfaitement aléatoire, un accroissement important des inégalités correspond à une situation dans laquelle (i) tout le monde, en moyenne, s’enrichi et/ou (ii) la variance des patrimoines est élevée. Au contraire, une situation dans laquelle les inégalités sont stables ou régressent correspond à un monde de patrimoines stationnaires (voire en régression) avec une faible variance.

Ça ne signifie naturellement pas que l’évolution des patrimoines est vraiment aléatoire mais ça signifie très concrètement que ce phénomène d’enrichissement plus rapide du top x% est, au moins en partie, une conséquence logique et mathématique d’un monde dans lequel le plus grand nombre s’enrichi et dans lequel les fortunes sont volatiles.

Commentaires

Posts les plus consultés de ce blog

Brandolini’s law

Over the last few weeks, this picture has been circulating on the Internet. According to RationalWiki, that sentence must be attributed to Alberto Brandolini, an Italian independent software development consultant [1]. I’ve checked with Alberto and, unless someone else claims paternity of this absolutely brilliant statement, it seems that he actually is the original author. Here is what seems to be the very first appearance of what must, from now on, be known as the Brandolini’s law (or, as Alberto suggests, the Bullshit Asymmetry Principle):The bullshit asimmetry: the amount of energy needed to refute bullshit is an order of magnitude bigger than to produce it.— ziobrando (@ziobrando) 11 Janvier 2013To be sure, a number of people have made similar statements. Ironically, it seems that the “a lie can travel halfway around the world while the truth is still putting on its shoes” quote isn’t from Mark Twain but a slightly modified version of Charles Spurgeon’s “a lie will go round the w…

Le salaire minimum à 15 dollars de Seattle

En général, la (fonction de densité de la) distribution des salaires ressemble à quelque chose comme ça : C’est-à-dire que relativement peu de gens touchent des salaires très bas (à gauche de la distribution), la plupart perçoivent un salaire proche du salaire médian (au milieu) et, plus on monte dans l’échelle des rémunérations (vers la droite), plus ça devient rare. Sur un graphique de ce type, le P.-D.G. d'une société du CAC 40 ou un joueur international de football se promènent à quelques dizaines de centimètres à droite de votre écran mais ces cas sont si exceptionnels que le trait bleu est invisible à l’œil nu.Le point MinW indique le niveau du salaire minimum légal. À gauche de ce point, en rouge, vous trouvez toutes les personnes dont le travail vaut moins que le salaire minimum. Typiquement, ce sont des gens peu qualifiés, peu expérimentés et même souvent les deux. C’est-à-dire qu’étant donné le niveau du salaire minimum, ces gens-là sont tout simplement inemployables. C&#…

Un garçon qui n’a jamais eu de métier

Jean-Luc Mélenchon fait ses premières armes en politique à Lons-le-Saunier, en mai 1968. À cette époque il n’est que lycéen — en première littéraire — mais c’est lui, racontent ses anciens camarades de classe, qui va importer les évènements parisiens dans son Jura d’adoption. C’est lors de cette première expérience politique qu’il va réaliser son indiscutable talent d’orateur et se familiariser avec la pensée d’extrême gauche et notamment Karl Marx qui devient son livre de chevet en terminale. Il passe son bac en 1969 et s’inscrit à la faculté des lettres de l’université de Besançon pour y étudier la philosophie.Sitôt inscrit, le jeune Mélenchon se rapproche de l’UNEF et déserte les amphis pour se consacrer au militantisme. Il parviendra quand même à obtenir sa licence en 1972 mais ne poussera pas ses études plus loin : la même année, il rentre formellement en politique en rejoignant l’Organisation Communiste Internationaliste (OCI), une organisation trotskyste de tendance lambertiste…