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Modéliser des patrimoines avec une marche aléatoire

Challenge vient de publier son classement annuel des plus grosses fortunes françaises et, comme d’habitude, les résultats donnent lieu à un nombre effarant d’interprétations erronées. J’y reviendrai si je trouve le temps. En attendant, je vous propose de voir comment on peut modéliser l’évolution de patrimoines dans le temps avec une marche aléatoire.

Considérez $N$ patrimoines (avec $i \in \{1, 2, \ldots, N\}$) observés pendant $T$ années (avec $t \in \{1, 2, \ldots, T\}$). La variation annuelle du patrimoine $P_i$ de l'année $t-1$ à l'année $t$ s’écrit :

$$\delta_{i, t} = \log{\left(P_{i, t}/P_{i, t-1}\right)} = \log{(P_{i, t})} - \log{(P_{i, t-1}})$$

Et la variation totale du patrimoine $P_i$ au bout de $T$ années est simplement la somme de ses variations annuelles :

$$\delta_{i, T} = \sum_{t = 1}^T \delta_{i, t}$$

La valeur finale, au bout de $T$ années, du patrimoine $P_i$ s'écrit donc simplement :

$$ P_{i, T} = P_{i, 0} \times e^{\delta_{i, T}}$$

Supposons que les variations annuelles de nos patrimoines suivent une distribution stable — peu importe laquelle — de moyenne $\mu$ et d’écart-type $\sigma$. Au bout de $T$ années, on sait que la variation moyenne ($\mu_T$) des patrimoines sera de :

$$\mu_T = \mu \times T$$

Si on admet que ces variations ne sont pas autocorrélées [1], la formule de Bienaymé nous permet d’écrire que l’écart-type au bout de $T$ années ($\sigma_T$) sera de :

$$\sigma_T = \sigma \times \sqrt{T}$$

Par ailleurs, avec un nombre suffisant d’observations (d’années), le Théorème Central Limite nous apprend que la distribution des variations de nos $N$ patrimoines sur $T$ années suivra une loi normale — ou, du moins, quelque chose de proche — ce qui implique que la distribution des patrimoines eux-mêmes suivra une loi log-normale.

$$P_{i, T} \sim \mathcal{lnN}(\mu_T, \sigma_T^2)$$

Forts de ce qui précède, on peut estimer précisément tous les quantiles de la distribution des patrimoines finaux (au bout de $T$ années) et on peut surtout étudier comment la moyenne ($\mu$) et l’écart-type ($\sigma$) influent sur l’accroissement des inégalités.

Je laisse les amateurs vérifier par eux-mêmes mais le résultat est sans appel : plus la moyenne et l’écart-type sont élevés, plus les quantiles de patrimoine élevé (le seuil à partir duquel on appartient au top 1% par exemple) progressent plus vite que les autres (la médiane par exemple) — i.e. plus la distribution devient asymétrique à droite.

En d’autres termes, dans un monde (théorique) où les patrimoines évoluent de façon parfaitement aléatoire, un accroissement important des inégalités correspond à une situation dans laquelle (i) tout le monde, en moyenne, s’enrichi et/ou (ii) la variance des patrimoines est élevée. Au contraire, une situation dans laquelle les inégalités sont stables ou régressent correspond à un monde de patrimoines stationnaires (voire en régression) avec une faible variance.

Ça ne signifie naturellement pas que l’évolution des patrimoines est vraiment aléatoire mais ça signifie très concrètement que ce phénomène d’enrichissement plus rapide du top x% est, au moins en partie, une conséquence logique et mathématique d’un monde dans lequel le plus grand nombre s’enrichi et dans lequel les fortunes sont volatiles.

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